حل درس نواتج الضرب النقطي والتقاطعي للمتجهات في الفضاء رياضيات صف 11 متقدم فصل ثاني

حل درس نواتج الضرب النقطي والتقاطعي للمتجهات في الفضاء رياضيات صف 11 متقدم فصل ثاني

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 5 – 7 إيجاد حاصل الضرب النقطي لمتجهين في الفضاء 

الدرس 5 – 7 إيجاد حواصل الضرب النقطي لمتجهين في الفضاء وإيجاد قياس الزاوية المحصورة بينهما إيجاد حواصل الضرب التقاطعي لمتجهين في الفضاء، واستخدام حواصل نواتج الضرب التقاطعي لإيجاد المساحات والحجوم 

بعد الدرس 5 – 7 تحليل مجالات المتجه 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

كلف الطلاب بقراءة قسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس. استخدم بابا للتوضيح حسب الضرورة مع طرح الأسئلة التالية 

اطرح السؤال التالي : 

ما القوى التي قد تجعل من فتح الباب أمرا صعبا ؟ الإجابات النموذجية: وزن الباب الاحتكاك عند المفصلات

ما أفضل علاقة تنشأ بين اتجاه القوة والباب ؟ تعامدية 

عندما تحرك يدك لمسافة أقرب إلى المفصلات، ماذا يحدث إلى القوة اللازمة لتحريك الباب ؟ الإجابة النموذجية تزداد القوة اللازمة عندما نقوم بالدفع بالقرب من المفصلات. 

1 حواصل الضرب النقطي في الفضاء 

يوضح المثال 1 طريقة إيجاد حاصل الضرب النقطي لمتجهين في الفضاء لتحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا. ويوضح المثال 2 طريقة إيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين في الفضاء 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين الموجهة الموجودة بعد كل مثال للوقوف على استيعاب الطلاب للمفاهيم 

أمثلة إضافية 

1 أوجد ناتج الضرب النقطي لكل من u و ۷، ثم حدد ما إذا كان u وv متعامدين أم لا.

22 : غير متعامدين 

2 أوجد قياس الزاوية 0 المحصورة بین u و ۷ إذا كان 4 – 1 – 3 – = u و (4 ,3 ,7) = v مقربا الدرجة لأقرب جزء من عشرة ° 6.168 

2 حواصل الضرب التقاطعي يوضح المثال 3 طريقة إيجاد حاصل الضرب التقاطعي لمتجهين في الفضاء ويوضح المثال 4 طريقة استخدام حاصل الضرب التقاطعي لحساب العزم 

أما المثال 5 فيبين طريقة إيجاد مساحة متوازي الأضلاع في الفضاء. ويبين المثال 6 طريقة إيجاد حجم متوازي السطوح

إرشاد للمعلمين الجدد 

صيغة المحدد يشار إلى المحدد في المثال 3 بأنه في صيغة المحدد لأنه ليس محددا فعليا. وحسب التعريف، يجب أن تتكون عناصر مصفوفة المحدد المتوافقة من كميات قياسية فقط. لاحظ أن i و ز و k متجهات، ولذلك ينبغي اعتبار صيغة المحدد هذه بأنها تغير في استخدام ترميز المحدد بهدف حساب حاصل الضرب النقطي لمتجهين في الفضاء 

مثال إضافي 

4 آلات يستخدم ميكانيكي مفتاح ربط طوله 0.4 متر لإحكام ربط صمولة، أوجد مقدار العزم واتجاهه حول الصمولة إذا كانت القوة 30 نیوتن مبذولة لأسفل على طرف المقبض عندما يكون فوق محور x الموجب بدرجة °35
N . m 99 مواز لمحور و الموجب 

إرشاد للمعلمين الجدد 

نواتج الضرب النقطي والتقاطي لاحظ أنه في حين يتسم ناتج الضرب النقطي بخاصية التبديل فإن ناتج الضرب التقاطعي لا يتسم بها. 

التدريس باستخدام التكنولوجيا 

نظام إجابة الطلاب قدم للطلاب عددا من الأمثلة على مصفوفات 2×2 مثل اسأل الطلاب إذا ما كانت قيمة محدد كل مصفوفة موجبة أم سالبة، كلف الطلاب بالإجابة مستخدمين A للقيمة السالبة و B للقيمة الموجبة
 

التركيز على محتوى الرياضيات 

متوازي السطوح متوازي السطوح هو مجسم متعدد الجوانب يوجد في فضاء ثلاثي الأبعاد وله ستة أوجه جمعها متوازيات أضلاع، ولا تقع المتجهات الثلاثة التي تشكل ثلاثا من الحواف الاثني عشر للمجسم متعدد الجوانب في المستوى نفسه، يساوي حجم متوازي السطوح (حاصل ضرب مساحة القاعدة في الارتفاع حاصل الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات الثلاثة، هناك حالات خاصة من متوازيات السطوح وهي متوازي المستطيلات جميع الأوجه مستطيلة الشكل)، والمكعب (جميع الأوجه مربعة الشكل)، والمنشور معين الأوجه (جميع الأوجه على معينة الشكل). 

المتابعة 

لقد استكشف الطلاب المتجهات ثنائية وثلاثية الأبعاد. اطرح السؤال التالية : 

كيف تفيد الكلمات الدالة على الموضع 

– مثل الشمال والجنوب وأعلى وأسفل 

– عند تمثيل المتجهات بالنماذج ؟ الإجابة النموذجية، توضح الكلمات الدالة على الموضع اتجاه المتجه، وهو أمر ضروري عند استخدام المتجهات في وصف الكميات. بالنسبة للمتجهات ثلاثية الأبعاد، تقدم الكلمات الدالة على الموضع أيضا إطارا مرجعيا يمكنك من معرفة أي الكميات ينبغي استخدامها

3 تمرین 

التقويم التكويني 

استخدم تمارين 1 – 32 للتحقق من استيعاب الطلاب ثم استخدم الجدول التالي لتخصيص الواجبات للطلاب 

خطأ شائع في التمارين 35 – 30. قد يدون الطلاب حجم متوازي السطوح بقيمة سالبة، ذكر الطلاب أن الحجم قياس لا بد وأن يكون ذا قيمة موجبة، إذا الحجم قيمة مطلقة لحاصل ضرب ثلاثة متجهات الإجابات النموذجية قد يوجد أكثر من إجابة واحدة ممكنة التمارين 36، 42 

52. الإجابة النموذجية باستخدام المتجهات في الصورة المركبة لتمثيل مسار كل طائرة، يمكن تحديد أن الزاوية المحصورة بين المتجهين قياسها *7،52 ولذلك فإن مساري الطائرتين غير متوازيين 

61. دائما الإجابة النموذجية، ينتج عن حاصل الضرب التقاطعي لمتجهين ثلاثي الأبعاد متجه عمودي على كلا المتجهين الأصليين 

62. الإجابة النموذجية، هناك عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة على زوج من المتجهات المتوازية، فإذا توازى متجهان، فإنهما متحدان في المستوى. وبحسب نظرية القاطع المتعامد، إذا تعامد متجه على واحد من متجهين متوازيين، فإنه متعامد على الآخر أيضا. وحيث إن المتجه يمكن أن يكون له عدد لا نهائي من المتجهات المتعامدة، فإن هناك عددا لا نهائيا من المتجهات المتعامدة على المتجهين المتوازيين 

1 التركيز 

الهدف تمثيل المتجهات بيانيا وتحديد التمثيل البياني لمجالات المتجهات. 

نصيحة للتدريس 

قد ترغب في إظهار مجال المتجه بعرض الطريقة التي يمكن بها الكشف عن خطوط المجال المغناطيسي وذلك بوضع برادة حديد بالقرب من مغناطیس 

2 التدريس 

العمل في مجموعات متعاونة 

ضع كل طالبين بقدرات مختلفة معا في مجموعة واحدة، و كلف الطلاب بحل الخطوات 1 – 3 من النشاط 1 وكذلك الإجابة عن تمارين تحليل النتائج 1- 3 ثم اطلب منهم حل الخطوات  من النشاط 2 والإجابة عن تمريني تحليل النتائج 4 و 5 اطرح السؤال التالي .

ما تعريف الدالة الدالة هي علاقة يقترن فيها كل عنصر من المجال عنصر واحد فقط في المدی
 

التقويم التكويني 

استخدم التمرين 6 لتقويم استيعاب الطلاب لطريقة تحويل الإحداثيات ثنائية الأبعاد إلى مجموعات من المتجهات ثنائية الأبعاد و طريقة تمثيل هذه المتجهات بيانيا في مجال المتجه 

من العملي إلى النظري 

كلف الطلاب بوصف تمثيلاتهم البيانية في التمرين 6 مع تقديم مثال على القوة التي يمكن تمثيلها بمجال المتجه هذا الإجابة النموذجية، تشير المتجهات إلى عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل، و لها أطوال تساوي المسافة التي تفصل بينها و نقطة الأصل. و يمكن تمثيل رياح الأعاصير بمجال المتجه هذا

كلف الطلاب بعد ذلك بإكمال جدول مشابه للجدول الوارد في التمرين 6 المجال المتجه ( F ( x , y ) = ( x , y ) اطلب منهم تمثيل مجال المتجه بیانيا الإجابة النموذجية، تتجه جميع المتجهات إلى الخارج من نقطة الأصل بأطوال تساوي المسافات التي تفصلها عن نقطة الأصل. و يمكن تمثيل قوة انفجار ما بمجال المتجه هذا