حل درس المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد رياضيات صف 11

حل درس المتجهات في الفضاء ثلاثي الأبعاد رياضيات صف 11  

1 التركيز 

التخطيط الرأسي 

قبل الدرس 4 – 7 تمثيل المتجهات هندسيا وجبريا بأبعاد ثنائية 

الدرس 4 – 7 تحديد موقع النقاط والمتجهات في النظام الإحداثي ثلاثي الأبعاد، التعبير عن المتجهات جبريا وإجراء العمليات عليها في الفضاء 

بعد الدرس 4 – 7 إيجاد حواصل الضرب النقطي لمتجهين في القضاء وقياس الزاوية المحصورة بينهما 

2 التدريس 

الأسئلة الداعمة 

كلف الطلاب بقراءة قسم لماذا ؟ الوارد في هذا الدرس اطرح السؤال التالي : 

كم عدد القطع التي توجد في المستوى الديكارتي ؟ ماذا يسمى كل قطاع ؟ أربعة ربع

ما العلامات الخاصة بالأزواج المرتبة المحتملة في نظام إحداثي ثنائي الأبعاد ؟ ( +، + ) و ( -، + ) و ( -، – ) و ( +، – )

كم عدد القطاعات التي توجد في النظام الإحداثي ثلاثي الأبعاد ؟ ماذا يسمى كل قطاع ؟ ثمانية، ثمن 

ما العلامات الخاصة بالثلاثيات المرتبة المحتملة في النظام الإحداثي ثلاثي الابعاد ( + + +  ) و (- – – ) و (+ – +) و( + – – ) و ( – – +) و ( – + + ) 

1 الإحداثيات بأبعاد ثلاثية 

يوضح المثال 1 طريقة تحديد موضع نقطة في نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد ويوضح المثال 2 طريقة إيجاد المسافة بين نقطتين ونقطة المنتصف لقطعة مستقيمة في الفضاء 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين الموجهة الموجودة بعد كل مثال للوقوف على استيعاب الطلاب للمفاهيم 

أمثلة إضافية 

حدد موقع كل نقطة في النظام الإحداثي ثلاثي الأبعاد a b انظر الهامش 

a. (1، 5، 3)

(5, 2، b. (-1

2 الهندسة المعمارية صمم مهندس معماري غرفة علوية ذات دعامات خشبية تمتد من أسفل يسار الجانب الأمامي و حتى أعلى يمين الجانب الخلفي، يتم تمثيل إحداثيات طرفي الدعامة كالآتي (10 ,40 ,30) و (20 ,80 ,70). مقيسة بالقدم. 

a. أوجد طول الدعامة  ft 57 . 45

b. سيتم توصيل ضوء بنقطة المنتصف للدعامة، أوجد إحداثيات الضوء (50, 60, 15)

2 المتجهات في الفضاء 

يوضح المثال 3 طريقة تحديد موقع متجه في الفضاء. ويوضح المثال 4 طريقة التعبير عن المتجهات في الفضاء جبريا، والمثالان 5 و 6 يوضحان طريقة إجراء العمليات على المتجهات في الفضاء 

أمثلة اضافية 

3 حدد موقع المتجه (4 ,2 ,4-) = ۷ و مثله بيانيا

4 أوجد الصورة المركبة وطول AB والذي تقع نقطة بدايته عند (1- 2- ,A 3 ونقطة نهايته عند (3- ,5 ,1)B. ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه AB (2, 7 -2)

إرشاد للمعلمين الجدد 

ترتيب الإحداثيات في المثال 4، ذگر الطلاب بأن عکس ترتيب الإحداثيات بغير المتجه من AB إلى BA، وهو له الطول نفسه و لكن اتجاه معاكس.

التدريس باستخدام التكنولوجيا 

السبورة التفاعلية اعرض شبكة من الإحداثيات X و z و y  على السبورة حدد موضع نقطة على الشبكة و كلف الطلاب بإيجاد الثلاثي المرتب للنقطة على الرسم البياني، اسحب الرسم البياني للنقطة إلى الأعلى أو إلى الأسفل على طول المحور 2، و إلى الأمام و الخلف على طول المحور X ويمينا أو يسارا على طول المحور y و بعد كل مرة تحرك فيها النقطة، كلف الطلاب بإيجاد الثلاثي المرتب لها. ناقش أوجه الشبه والاختلاف بين الثلاثيات المرئية والأزواج المرتبة 

أمثلة إضافية : 

أوجد كلا مما يلي عندما تكون 2 ,15 = 7 و 2- ,3 ,6-) = W و (1- ,5 .0) =2 a. 3V – W -1 (9.7.9) + 37 (13, 16, -9) b. -۷+ 2

الصواريخ بعد انطلاق صاروخ نموذجي، اندفع في اتجاه الجنوب بزاوية صعود قياسها 80 بالنسبة إلى المركب الأفقي بسرعة 100 متر في الثانية، فإذا هبت الرياح من S52°W بسرعة 5 أمتار في الثانية، أوجد متجها يعبر عن سرعة الصاروخ الموجهة الناتجة بالنسبة إلى نقطة الانطلاق ( 98 . 48 ,1428- , 3 . 94) أو 3.94i – 1428i + 98.48k

التركيز على محتوى الرياضيات 

خصائص المتجهات في الفضاء تشبه خصائص العمليات على المتجهات في الفضاء تلك الخاصة بالعمليات في المستوى، حيث يمكن تحديد التساوي والجمع (الطرح، وحاصل الضرب القياسي وطول المتجه بدلالة المركبات أو i j k للمتجه، فإذا كان a) = و ,az a و b = ( b + b b وأي عدد حقيقي n، فإن . a = b فقط  

3 تمرین 

التقويم التكويني 

استخدم التمارين من 1، 50 للتحقق من فهم الطلاب ثم استخدم الجدول التالي لتخصيص الواجبات للطلاب 

انتبه

خطأ شائع قد لا يعلم بعض الطلاب طريقة بدء حل التمارين 56 – 59 ذكرهم بأن المثلث القائم
له زاوية قياسها °90 وضلعان متعامدان على بعضهما البعض وأن المثلث متساوي الساقین به ضلعان لهما الطول نفسه، وأن متساوي الأضلاع جميع أضلاعه الثلاثة لها الطول نفسه

4 التقويم 

تنبؤ كلف الطلاب بكتابة فقرة تذكر كيف يعتقدون بأن ما تعلموه في هذا الدرس سوف يفيدهم في موضوع العد المتعلق بإيجاد الزاوية المحصورة بين متجهين في الفضاء 

إجابات إضافية 

76b. ينبغي أن تبعد الحواجز حوالي 394 قدما من موقع الانطلاق وفي اتجاه الانطلاق، وحوالي 206 أقدام من موقع الانطلاق وفي اتجاه بعيد عن الانطلاق 8ft mb، الإجابة النموذجية مع تثبيت الخيط بدبوسين في بؤرة القوس وشده بقلم رصاص، سوف يظل مجموع المسافات من كل دبوس وحشي القلم الرصاص ثايئا وعندما يكون القلم الرصاص في أحد الجوانب السفلية من القوس، وبالتحديد على بعد 4 أقدام من المنتصف، تكون المسافة من الدبوس الأبعد إلى الجانب السفلي 2. 6 +4 أو حوالي 66 أقدام والمسافة من الديوس الآخر إلى الجانب السفلى سوف تكون 26 – 4 أو حوالي 1،4 قدم. إذا، الطول الإجمالي المطلوب للخيط هو 14 + 6 . 6 أو 8 أقدام.
 

التدريس المتمایز

التوسع يكون الجسم في حالة توازن إذا كان مقدار القوة التانجة المبذولة عليه تساوي صفرا. افترض أنه تم تمثيل ثلاث قوى مبذولة على الجسم كالاتي (3 ,1- ,4) و (3 ,2 ,5) و (6- ,t 2). كلف الطلاب بإيجاد متجه رابع يضع الجسم في حالة توازن (0 ,3 ,8)

1 التركيز 

الهدف 

أستخدم حاسبة التمثيل البياني لتحويل المتجهات باستخدام المصفوفات 

نصيحة للتدريس 

لتحديد المصفوفة A بإمكان الطلاب الضغط على MATRIX ] 2nd ] وتحديد EDIT ثم اختيار A. بعد ذلك يمكنهم تغيير أبعاد المصفوفة بإدخال عناصر المصفوفة، كرر الأمر مع المصفوفة B 

2 التدريس 

العمل في مجموعات متعاونة 

قسم الطلاب ذوي القدرات المختلفة إلى مجموعات ثنائية. واطلب منهم حل خطوات النشاط H3 والتمرين 1 

اطرح السؤال التالي : 

هل الترتيب مهم في ضرب المصفوفات ؟ اشرح. نعم، الإجابة النموذجية، لا يتسم ضرب المصفوفات بخاصية التبديل 

ما بعض أنواع التحويلات ؟ تغییر الأبعاد، والانعکاس، و التدوير، و الإزاحة 

تمرين كلف الطلاب إتمام التمارين من 2، 4 

3 التقويم 

التقويم التكويني 

استخدم التمرين 2 لتقويم ما إذا كان الطلاب يفهمون طريقة تحويل المتجهات باستخدام ضرب المصفوفات في المتجهات أم لا